مدل کوانتمی شرودینگر و اعداد کوانتومی

د

در سال ۱۹۲۶ میلادی، شرودینگر بر مبنای رفتار دو گانه ی الکترون (موجی و ذره ای) و با تاکید بر رفتار موجی الکترون، محدود کردن الکترون به یک مدار دایره شکل را درست ندانست و از حضور الکترون در یک محیط سه بعدی سخن گفت. شرودینگر پس از انجام محاسبات پیچیده ی ریاضی، به این نتیجه رسید که همانطور که برای پیدا کردن یک جسم در فضا به سه عدد (طول، عرض و ارتفاع) نیاز داریم، برای پیدا کردن اوربیتال یک اتم هم به ۳ عدد کوانتمی نیاز داریم. در واقع شرودینگر با معرفی یک تابع موج (معادله دیفرانسیل) و حل انتگرال سه گانه آن به نتایجی دست یافت که پایه و اساس مدل کوانتومی شد. شرودینگر سه عدد کوانتومی را از روی معادلات دیفرانسیل و حساب انتگرال پیچیده ای به دست آورد. البته عدد کوانتومی چهارم (عدد کوانتومی مغناطیسی اسپینی) بعداً توسط دیگران به دست آمد.

مروری بر اعداد کوانتومی

می دانیم از ذراتی بنام الکترون، پروتون و نوترون تشکیل شده است و دانشمندان بعد از تلاش فراوان این ذرات را شناسائی کرده و مشخص کردند که نوع و مقدار بار الکترون چقدر است.

سپس با تحقیقات فراوانی سعی کردند آرایش این ذرات را در داخل اتم پیدا کنند و بدین لحاظ مدلهای زیادی در این زمینه ارائه شد که مهمترین آنها عبارت است از:

مدل دالتون، مدل تامسون، مدل رادفورد و مدل بوهر که البته همه اینها اشکالات فراوانی داشته‌اند اما فعالیت آنها یک مزیت مهم داشته است اینکه آنها عقیده داشتند ذرات داخل اتم طبق یک نظم و ترتیب خاصی واقع شدند و در نهایت راه را برای کشف صحیح آرایش الکترونی، مدل اربیتالی باز کردند که منطبق بر اصول صحیح علمی است. در بررسی آرایش الکترونی اربیتالی اتمها به مواردی برخورد می‌کنیم که قابل تأمل است و لازم است بررسی‌های بیشتری صورت بگیرد مثلاً می‌بینیم الکترون شماره 19 اتم پتاسیم بجای ورود به اربیتال 3d به اربیتال 4s که از هسته دورتر است وارد می‌شود.

الکترون به ترازی وارد می‌شود که پایدارتر باشد بنابراین می‌توانیم نتیجه‌ بگیریم که اربیتال 4s پایدارتر از اربیتال 3d است زیرا اربیتال 4s با توجه به اینکه تقارن کروی داشته از سطح انرژی کمتری برخوردار بوده و پایدارتر است و بطور کلی شکل اربیتال در پایداری آن مؤثر است.

بنابراین برای پایداری یک اربیتال لازم است که بطور همزمان شکل اربیتال و فاصله آن تا هسته را تواماً اثر دهیم و این موضوع را می‌خواهیم دقیقتر بررسی کنیم.

  

شکل اربیتال را با فاکتوری بنام L یا عدد کوانتمی فرعی در نظر می‌گیریم و به اربیتالها مقدار عددی L زیر نسبت میدهیم.

                             d                      p                      S          =    نوع اوربیتال

     ۰                      1                      ۲          =          L

اگر فاصله الکترون تا هسته را با عدد کوانتمیn نشان دهیم می‌توانیم بگوئیم:

** الکترون به ترازی وارد می‌شود که مجموع (N + L) کمتری داشته باشد. مثلاً برای تراز 4s و 3dجدول زیر را داریم:

n + L	L	n	عدد کوانتمی/تراز
5	2	3	3d
4	0	4	4s

می‌بینیم اوربیتال 4s مجموع (N+L) کمتری دارد بنابراین پایدارتر بوده و الکترون وارد آن اوربیتال می‌شود نه اوربیتال 3d حالا این سؤال پیش می‌آید که N و L چه هستند.

برای روشن شدن موضوع اعداد کوانتومی N و L را می‌بایست به همراه دو عدد کوانتومی دیگر توضیح دهیم.

توابع موجی که سطوح انرژی مجاز و رفتار کلی الکترون را در اتم نیتروژن توجیه می‌کنند بوسیله چهار عدد کوانتومی به نام‌های n,l,m_l,m_s مشخص می‌شوند که خود از حل معادله شرودینگر نتیجه شده‌اند و می‌توانیم نتیجه بگیریم که هر سطح انرژی مجاز با یک ترکیبی از این چهار عدد کوانتومی مشخص می‌شوند و برای اینکه یک الکترون را در یک تراز شناسایی کنیم لازم است چهار عدد کوانتومی آن مشخص بشود.

           n = 1 , 2 , 3 , …. (∞)عدد کوانتومی اصلی

  L = 0 , 1 , 2 , 3 …. (n-1)         عدد کوانتومی فرعی

(-L   0   +L)      m_L = …. –1    0    1 …عدد کوانتومی مغناطیسی

         m_S = + 1/2عدد کوانتومی اسپین

 

اعداد کوانتومی چهارگانه برای کلیه الکترونهای اتم نیتروژن.   ₇N   1S ²    2S ²   2p ³

عدد کوانتومی /اربیتال	n	L	mL	mS
1S1 1S1 2S1 2S1 2p1 2p1 2p1	1 1 2 2 2 2 2	0 0 0 0 1 1 1	0 0 0 0 +1 0 -1	+1/2 -1/2 +1/2 -1/2 +1/2 +1/2 +1/2

 

**عدد کوانتومی اصلی n

این عدد مشخص کننده لایه است که الکترون به آن تعلق دارد و احتمال پیدا کردن الکترون در این لایه زیاد است و در تعیین انرژی الکترون مقام اول را دارا است یعنی هر چه n بزرگتر باشد لایه از هسته دورتر و انرژی الکترون در آن لایه بالاتر است. الکترونهایی که n مساوی دارند حدوداً در یک لایه حرکت کرده و این دسته از الکترونها در یک سطح یا پوسته قرار دارند.

 

** عدد کوانتومی فرعی L

در بررسی‌های طیف سنجی در یک سیستم چند الکترونی آنچه در نظر اول در یک طیف به صورت یک خط دیده می‌شود در واقع از چندین خطوط نزدیک به هم تشکیل شده است که مربوط به ترازهای فرعی می‌شود. الکترون که در اطراف هسته در حال گردش غیر خطی است دارای یک اندازه حرکت زاویه‌ای خواهد بود که هر چه بیشتر باشد سطح انرژی آن الکترون بیشتر خواهد بود و ترازهای توزیع احتمال شکلهای مختلفی را خواهد داشت البته الکترون با داشتن اندازه حرکت زاویه‌ای دارای انرژی جنبشی حرکت زاویه‌ای خواهد بود مقدار این انرژی جنبشی در محدوده کل الکترون است بنابراین مقادیر مجاز L را مقدار n تعیین می‌کند. تعداد اربیتالهای یک تراز فرعی را می‌توانیم از رابطه (2L+1) بدست آوریم که L همان عدد کوانتومی فرعی است.

 

** عدد کوانتومی مغناطیسی m_L

یک الکترون با اندازه حرکت زاویه‌ای را می‌توان یک جریان الکتریکی در نظر گرفت که در حلقه جریان دارد و در نتیجه انتظار میدان مغناظیسی وابسته به این جریان هم میرود چون منبع این میدان مغناطیسی همان اندازه حرکت زوایه‌ای الکترون است پس مقادیر مجاز m به مقدار L یعنی عدد کوانتومی فرعی بستگی دارد. می‌توانیم بگوئیم L تعیین کننده شکل توزیع احتمال اکترون و m تعیین کننده جهت توزیع احتمال الکترون می‌باشد.

 

** عدد کوانتومی مغناطیسی اسپین m_S

علاوه بر اثر مغناطیسی که در اثر حرکت زاویه‌ای الکترون تولید می‌شود یک ذره باردار مثل الکترون که به دور خود می‌چرخد مانند یک مغناطیس کوچک عمل می‌کند ازاین رو گفته می‌شود که الکترون یک اسپین دارد و عدد کوانتومی مربوط به این اسپین دو مقدار 1/2⁺  میباشد.

و طبق اصل طرد پائولی مجموع چهار عدد کوانتومی برای دو الکترون در یک اتم نمی‌تواند یکسان باشد حتی در صورتی که دو الکترون دارای مقادیر یکسان برای n,1,m باشد از لحاظ مقادیر s تفاوت خواهند داشت.